Решение логических задач разными способами

Каждый из Вас, дорогие друзья, наверное сталкивался с популярной, так называемой, задачей Эйнштейна. Хотя и не существует фактических доказательств того, что задача была придумана амбициозным и неординарным физиком, его имя делает головоломку еще более увлекательной для пытливого ума.

Условие задачи формулируется пятнадцатью условиями, с помощью которых необходимо ответить на основной вопрос:

1. Норвежец живёт в первом доме.

2. Англичанин живёт в красном доме.

3. Зелёный дом находится слева от белого, рядом с ним.

4. Датчанин пьёт чай

5. Тот, кто курит Marlboro, живёт рядом с тем, кто выращивает кошек.

6. Тот, кто живёт в жёлтом доме, курит Dunhill.

7. Немец курит Rothmans.

8. Тот, кто живёт в центре, пьёт молоко.

9. Сосед того, кто курит Marlboro, пьёт воду.

10. Тот, кто курит Pall Mall, выращивает птиц.

11. Швед выращивает собак.

12. Норвежец живёт рядом с синим домом.

13. Тот, кто выращивает лошадей, живёт в синем доме.

14. Тот, кто курит Winfield, пьет пиво.

15. В зелёном доме пьют кофе.

Вопрос: кто разводит рыбок?

Приведенная задача является ярким примером целого раздела математических задач, называемых логическими. Решить ее в уме, наверное, кто-то и сможет, но понятно, что не каждому это под силу. Однако решение становится прозрачным и легким для всех, если освоить несколько приемов решения логических задач. О них и методах их решения мы и поговорим.

Логические задачи составляют неотъемлемую часть математического образования любого школьника. Они заостряют интеллект и развивают логическое мышление детей, что очень важно при их подготовке к будущему обучению.

Есть несложные задачи, для решения которых достаточно хорошей смекалки, другие задачи требуют уже более серьезной подготовки: владение техникой решения подобных задач и умением организовать работу над задачей (выявить важные условия, подобрать способ решения).

Что же представляют собой логические задачи? Логические задачи или, как их еще иногда называют, нечисловые, представляют собой текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.). Далее речь пойдет о методах и приемах решения таких задач.

Выделим основные методы решения логических задач и рассмотрим их подробнее по отдельности:

· метод рассуждений

· метод таблиц

· метод графов

· метод кругов Эйлера-Венна

· решение средствами алгебры логики

Метод рассуждений является самым простым и примитивным из всех перечисленных, потому что не требует каких-то особенных знаний и навыков. Он заключается в проведении рассуждения, используя все условия задачи, в результате которого мы приходим к результату, который и будет искомым решением. Применяя этот метод, мы можем решить относительно несложные задачи.

Задача: Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: “Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский”. Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение: Имеется три утверждения. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

В качестве результата делаем вывод: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

Метод таблиц является более сложным относительно метода рассуждений, но так же не требует от нас определенных знаний: только способность логически рассуждать и правильно оценивать условия задачи. Данный метод имеют преимущество перед методом рассуждений, так как таблицы, составляемые в ходе решения задач, позволяют наглядно представить нам условие задачи. Рассмотрим решение логической задачи методом таблиц на примере.

Задача: Жили-были две фигуры: круг и квадрат. На их улице было 3 дома: один дом был с окном и трубой, другой – с окном, но без трубы, а третий – с трубой, но без окна. Каждая фигура жила в своем доме. Круг и Квадрат жили в домах с окнами. Квадрат любил тепло и часто топил печку. Кто в каком доме жил?

Решение: Составим таблицу, из которой мы будем последовательно вычеркивать те пункты, которые противоречат условию задачи. В итоге у нас останутся не вычеркнутые пункты – они и будут требуемым ответом.

Рис 0

логическая таблица

В результате получаем ответ: Круг живет в доме с окном, но без трубы, а квадрат в доме с окном и трубой.

Метод графов уже требует определенных знаний и навыков. Прежде чем перейти к решению задачи ответим на простой вопрос: «А что такое граф?».

Графом называется способ представления, при котором объекты изображаются точками, а связи между ними линиями или стрелками. Примером графа может служить схема метро. Точки называются вершинами графа, а линии – ребрами.

Решение задач этим методом заключается в построении графа по условию задачи: дело нелегкое, но интересное.

Задача: Встретились три подруги: Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было надето черное платье, на другой – красное, а на третьей белое. Девочка в красном платье говорит Черновой: « Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует нашим фамилиям». Кто из девочек в какое платье был одет?

Решение: Здесь мы имеем два равночисленных множества: множество фамилий и множество цветов платьев. Между этими множествами надо установить взаимно-однозначное соответствие. Для этого построим граф. Пусть белые кружочки Б, К и Ч изображают элементы первого множества (Белова, Краснова и Чернова), а черные кружочки б, к и ч – элементы второго множества – белое, красное и чёрное. Условимся соединять эти кружочки тонкой голубой линией, если между ними нет соответствия. Если же соответствие между кружочками установлено правильно, то будем соединять их жирной черной линией.

Из первого условия получаем, что девочка в белом платье не может быть Черновой:

Рис 1

Из второго условия (цвет платья не соответствует фамилии) следует, что Б не соответствует б, К – к и Б – б:

Рис 2

Теперь из чертежа видно, что кружку Ч может соответствовать лишь кружок к, а кружку б только – только кружок К. Отметим эти соответствия черными линиями:

Рис 3

Теперь становится ясным, что кружок Б может соответствовать только кружку ч:

Рис 4

Следовательно, Белова одета в чёрное платье, Чернова одета в красное платье и Краснова – в белое платье.

Метод кругов Эйлера-Венна является еще одним наглядным и довольно интересным способом решения логических задач. В основе этого метода лежит построение знаменитых кругов Эйлера-Венна, обычно обозначающих какое-либо множество. Разберем пример применения данного метода.

Задача: Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят лилии, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и лилии и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение: Итак, мы имеем, что Фиалки разводят пять подруг, а лилии – шесть. Условие, что только у двоих есть и фиалки и лилии, позволяет нам применить круги Эйлера-Венна:

Рис 5

круги эйлера

Проведем несложные расчеты:

И всего получаем:

Полученный результат и будет решением нашей задачи.

Последний метод решения логических задач – решение задач средствами алгебры логики. Понятно, что применять этот метод становится возможным только после изучения алгебры логики. Поэтому данный метод вызывает некоторые сложности, но на практике находит широкое применение при решение большого круга задач.

Есть и другие методы решения логических задач, но они используются реже, чем рассмотренные выше. Выбор метода решения не влияет на ответ задачи, и зависит только от ваших предпочтений и возможностей.

Решите приведенные ниже задачи и отправьте ответы в раздел математика. Если вы не можете решить какую либо задачу укажите это и напишите причину.

№ 1

Виноградов, Поспелов, Сабиров и Шмонов – четыре талантливых человека. Один из них – иллюзионист, другой – художник, третий – певец, а четвёртый – писатель.

О них известно следующее:

1. Виноградов и Сабиров сидели в зале филармонии в тот вечер, когда певец дебютировал в сольном концерте.

2. Поспелов и писатель вместе позировали художнику.

3. Писатель написал биографическую повесть о Шмонове и собирается написать о Виноградове.

4. Виноградов никогда не слышал о Сабирове.

Кто чем занимается?

№ 2

Студенты университета организовали эстрадный квартет. Александр играет на саксафоне. Пианист учится на физическом факультете. Ударника зовут не Виктором, а студента географического факультета зовут не Романом. Александр учится не на историческом факультете. Пётр не пианист и не биолог. Виктор учится не на физическом факультете, а ударник – не на историческом. Роман играет не на контрабасе.

На каком инструменте играет Виктор и на каком факультете он учится?

№ 3

Катя, Наташа, Римма и Лиля – студентки факультета иностранных языков – увлекаются музыкой и каждая из них играет на каком-нибудь инструменте, но только на одном: гитаре, скрипке, арфе или фортепиано.

Каждая из них учится на одном из отделений факультета: английского, французского, немецкого или испанского языка.

Та из них, которая играет на гитаре, учится на отделении испанского языка. Наташа не играет ни на скрипке, ни на арфе, и не учится на отделении английского языка. Катя тоже не играет ни на арфе, ни на скрипке и не учится на отделении английского языка. Студентка отделения немецкого языка не играет на арфе. А Римма учится на отделении французского языка и не играет на скрипке.

На каком инструменте играет и на каком отделении факультета иностранных языков учится каждая из студенток?

№ 4

Трое мужчин – Валиев, Карманов и Нугаев – женаты: один – на Марьям, другой – на Альбине, третий – на Гульнур. У каждой пары есть сын: у одной – Фердинанд, у другой – Дамир, у третьей – Руслан. Вот что ещё известно: Нугаев – не муж Гульнур и не отец Дамира; Марьям – не жена Карманова и не мать Фердинанда. Если отец Фердинанда – Карманов или Нугаев, то Гульнур – мать Руслана. Если Гульнур – жена Карманова, то Альбина – не мать Фердинанда.

Назовите фамилии сыновей и жён.

№ 5

В конкурсе «Евровидение-2009» страны Норвегия, Исландия, Азербайджан и Турция заняли первых четыре места. На следующий день на вопрос, кто какое место занял, представители стран ответили так:

Норвегия: Азербайджан занял первое место;
Исландия: Мы заняли не второе место;
Азербайджан: Турция заняла первое место;
Турция: Мы заняли не четвертое место.
Позже стало известно, что все эти ответы были ложными. Какая страна заняла первое место?

№6

В клубе «Отдых» познакомились 3 любителя клубной музыки видов техно, хаус, рейв. Один говорит: «Вы какую музыку больше любите? Я техно люблю!». Другой ответил, что любит хаус, а третий сказал, что не любит ни техно, ни хаус, но зато обожает рейв. Интересно то, что все они были в банданах и рубашках черного, белого и желтого цветов, но цвет банданы и рубашки совпадал только у любителя техно. А у любителя хаус ни рубашка, ни бандана не были белыми. А любитель рейв был в желтой рубашке. Определите цвет рубашек и бандан каждого из любителей клубной музыки.

№7

Четыре футбольных команды: итальянская команда «Милан», испанская – «Реал», российская – «Зенит», английская – «Челси» встретились в групповом этапе лиги чемпионов по футболу. Их тренировали тренеры из этих же четырех стран: итальянец Антонио, испанец Родриго, русский Николай, англичанин Марк. Известно, что национальность у всех четырех тренеров не совпадала с национальностью команд. Требуется определить тренера каждой команды, если известно:
а) Зенит не тренируется у Марка и Антонио.
б) Милан обещал никогда не брать Марка главным тренером.